阶乘计算器

阶乘 n! 就是把从 1 到 n 的所有正整数连乘起来，5! 就是 1×2×3×4×5=120，规定 0! 和 1! 都等于 1。它增长得极快，20! 就已经是 18 位数，靠计算器按键很容易溢出或丢精度。填入一个非负整数，工具用大整数逐个连乘，给出完整精确的 n!，并顺带告诉你结果一共有多少位、末尾跟着几个 0、写成科学计数法大约是多少，排列组合、概率题里常要用到这些信息。

计算过程全部在你自己的浏览器里完成，填入的数字不会上传到服务器，用着放心。结果为估算参考，重要事项请以官方或专业渠道为准。

阶乘计算器是一个免费的在线工具，打开网页就能用，不用下载也不用注册。平时大家搜的“阶乘计算器”、“n的阶乘怎么算”、“阶乘在线计算”，说的都是这个。

n 的阶乘写作 n!，等于从 1 连乘到 n 的乘积，即 n!=1×2×3×…×n。例如 4!=1×2×3×4=24。有两个约定要记住：0!=1，1!=1，这不是随便规定的，而是为了让排列组合公式（如 C(n,0)=1）在边界上依然成立。阶乘只对非负整数有定义，负数和小数没有普通意义上的阶乘（那要用伽马函数推广，不在本工具范围内）。

n! 末尾有多少个零，取决于它的因数里包含多少个 10，而一个 10 由一个 2 和一个 5 组成。在连乘中因子 2 远多于因子 5，所以末尾零的个数由因子 5 的个数决定，等于 ⌊n/5⌋+⌊n/25⌋+⌊n/125⌋+… 一直加到除数超过 n 为止。比如 25! 里，25/5=5 个、25/25=1 个，共 6 个因子 5，所以末尾正好有 6 个零。这个规律在算末尾零、判断整除时很常用。

• 5!=120，10!=3628800，只有七位数，还在日常范围
• 13! 就超过了十亿，普通计算器的显示位数开始不够用
• 20!≈2.43×10^18，已是 18 位，超出常见整数精度范围
• 70! 已超过 10^100，比目前可观测宇宙里的原子总数还多
• 正因增长极快，算大 n! 必须用大整数连乘才能保证每一位都精确

为什么 0! 等于 1，而不是 0？把 0! 定义为 1 是数学上的约定，目的是让相关公式自洽。比如排列数 A(n,n)=n!，组合数 C(n,0)=n!/(0!·n!)，只有当 0!=1 时这些式子在边界处才成立。也可以从「空积」的角度理解：不乘任何数时，乘积的默认值就是 1，就像不加任何数时和的默认值是 0 一样。

这个工具能算多大的 n？为了兼顾精度和响应速度，工具限制 n 在 0 到 20000 之间。这个范围内都用大整数逐个连乘，保证结果每一位都精确，不会像普通浮点计算那样在十几位之后就丢精度。n 特别大时位数会成千上万，完整数字很长，工具会在结果里给出总位数，超长时只显示首尾并用省略号表示中间部分。

科学计数法那一行为什么写「约」？精确值那一行是一位不差的完整整数，而科学计数法只取了前几位有效数字（如 3.628800×10^6）方便你快速估量数量级，尾部做了舍入，所以标「约」。需要精确数值时以上面的完整结果为准，需要快速比较大小或估算量级时看科学计数法即可。