二项式系数计算器

二项式系数 C(n,k) 表示从 n 个不同元素中不计顺序地取出 k 个的方法数，也是二项式 (a+b)ⁿ 展开中各项的系数。当 n 和 k 都是非负整数时，结果一定是整数，且随 n 增大迅速变成大数，本工具用大整数精确计算，绝不丢精度，并顺带列出杨辉三角的第 n 行；当 n 是负数或小数时，则按广义二项式公式 n(n-1)…(n-k+1)/k! 求出对应的实数系数。

计算过程全部在你自己的浏览器里完成，填入的数字不会上传到服务器，用着放心。结果为估算参考，重要事项请以官方或专业渠道为准。

二项式系数计算器是一个免费的在线工具，打开网页就能用，不用下载也不用注册。平时大家搜的“二项式系数计算器”、“组合数计算”、“C(n”，说的都是这个。

二项式系数记作 C(n,k)，读作「n 取 k」，表示从 n 个不同的东西里不管顺序地挑出 k 个共有多少种挑法。它的另一层身份是二项式定理里的系数：把 (a+b) 自乘 n 次展开后，含 aⁿ⁻ᵏbᵏ 那一项前面的数字正好就是 C(n,k)。所以从抽奖排列到多项式展开，从概率里的成功次数到彩票组合，背后都是同一个数。当 n、k 都是非负整数时它一定是整数，而且满足对称性 C(n,k) 等于 C(n,n-k)。

• 非负整数 n、k：结果是精确的大整数，本工具用大整数运算，即便像 C(100,50) 这样几十位的数也一位不差
• k 大于 n：在非负整数情形下无法取出比总数还多的元素，组合数约定为 0
• n 为负数或小数：套用广义二项式公式 n(n-1)…(n-k+1) 除以 k! 的阶乘，结果通常是带小数或带正负号的实数，常见于泰勒级数和 (1+x) 的分数次幂展开

杨辉三角每一行正好是 C(n,0)、C(n,1) 一直到 C(n,n) 这一整排组合数，第 n 行有 n+1 个数，两端都是 1，中间每个数等于上一行相邻两数之和，对应递推式 C(n,k) 等于 C(n-1,k-1) 加 C(n-1,k)。这个规律让不用乘除也能一层层推出所有组合数，本工具在 n 不太大时会把第 n 行整行列出，方便对照和验证。

C(n,k) 和排列数 A(n,k) 有什么区别？组合数 C(n,k) 不计较取出元素的先后顺序，排列数 A(n,k) 则计较顺序。两者关系是 A(n,k) 等于 C(n,k) 乘以 k 的阶乘，也就是先选出 k 个再对它们全排列。挑人组队用组合数，排名次或排座位用排列数。

为什么 n 是小数时结果不是整数？只有非负整数的组合数才有「取几个」的计数含义，才必然是整数。n 为负数或小数时用的是推广后的广义二项式系数，只是把公式里的连乘照搬过来，它服务于级数展开等场景，本身不再代表方法数，所以出现小数或负数都是正常的。

n、k 能填多大？为避免浏览器计算过久，本工具限制 n 和 k 均不超过 100000。非负整数范围内的结果保证精确无误差；杨辉三角整行仅在 n 不超过 30 时展示，更大时结果仍照常给出，只是不再列出整行。